فهرست مطالب                               

عنوان                                                                                         صفحه

فصل اول : مقدمه………………………………………………………………………… 2

1-1- مقدمه……………………………………………………………………………… 2

1-2-  طرح های عاملی………………………………………………………………….. 2

1-2-1-  طرح عاملی 22…………………………………………………………………. 3

1-2-2- مقابله ها………………………………………………………………………… 4

1-2-3- طرح عاملی k2………………………………………………………………….. 5

1-3-  تحلیل كواریانس………………………………………………………………….. 6

1-4-  توزیع وایبل و خواص آن………………………………………………………….. 7

1-4-1-  قابلیت اعتماد  (Reliability )……………………………………………….. 9

1-5-  توزیع لجستیک تعمیم یافته……………………………………………………… 9

1-6-  روش درستنمایی ماكزیمم………………………………………………………. 14

فصل دوم : روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده……………………………………… 17

2-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 17

2-2- معرفی روش درستنمایی ماکزیمم اصلاح شده…………………………………… 17

2-3- معادلات درستنمایی……………………………………………………………… 18

2-4- معادلات درستنمایی اصلاح شده و برآوردیابهای MML…………………………. 22

2-5- آزمون فرض……………………………………………………………………… 23

فصل سوم : طرح عاملیk2 با خطای تصادفی وایبل……………………………………… 25

3-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 25

3-2- معادلات درستنمایی……………………………………………………………… 25

3-3- خطی کردن معادلات درستنمایی با بهره گرفتن از بسط سری تیلور………………….. 28

3-4- معادلات درستنمایی اصلاح شده و برآوردیابهای MML…………………………. 31

3-5- آزمون فرض……………………………………………………………………… 35

3-6- برآوردیاب های MML در طرح عاملی 23……………………………………….. 38

3-7-تعمیم…………………………………………………………………………….. 43

فصل چهارم : تحلیل كواریانس با خطای تصادفی لجستیک تعمیم یافته…………………. 46

4-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 46

4-2- معادلات درستنمایی……………………………………………………………… 46

4-3- خطی کردن معادلات درستنمایی با بهره گرفتن از بسط سری تیلور………………….. 51

4-4- برآوردیاب های MML………………………………………………………….. 53

4-5- آزمون فرض……………………………………………………………………… 55

4-5-1- آزمون تئوری نرمال……………………………………………………………. 55

فصل پنجم : مثال های عددی………………………………………………………….. 55

5-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 67

5-2- شبیه سازی فصل سوم…………………………………………………………… 67

5-3- شبیه سازی فصل چهارم…………………………………………………………. 70

5-5- مثال عددی 2……………………………………………………………………. 72

6-5  محاسبه احتمال خطای نوع اول و توان در آزمون F معمولی……………………… 73

پیوست 1………………………………………………………………………………. 76

واژه نامه فارسی به انگلیسی…………………………………………………………….. 82

واژه نامه انگلیسی به فارسی…………………………………………………………….. 90

منابع :………………………………………………………………………………….. 97

مقدمه

در مدل های آنالیز واریانس ، آزمون های معنادار بودن بر اساس فرض خطای نرمال انجام می شوند . در عمل ممکن است با رسم نمودار باقی مانده ها متوجه شویم که فرض خطای نرمال نادرست می باشد ، در این صورت به کار بردن روش های سنتی سبب کاهش کارایی در آزمون و برآوردیابی می

 شود .

در این پایان نامه طرح عاملی k2 با خطای تصادفی وایبل و همچنین مدل های تحلیل كواریانس را زمانی كه متغیر مستقل و خطای تصادفی هر دو دارای توزیع غیر نرمال باشند بررسی می كنیم ، برای این منظور از برآوردهای ماکزیمم درستنمایی اصلاح شده ) MML ( استفاده می کنیم که در مقایسه با راه حل های ارائه شده تحت فرض نرمال بودن خطا توان بالاتری دارند و نسبت به فرضیات مدل نیرومند ( Robust ) هستند . این پایان نامه در 5 فصل ارائه می شود که موضوع هر کدام در زیر آورده شده است .

فصل اول : تعاریف و مفاهیم مقدماتی

   در این فصل مفاهیم مورد نیاز در پایان نامه بیان می شود .مفاهیمی از قبیل: طرح های عاملی ، تحلیل كواریانس ، توزیع وایبل و خواص آن ، توزیع لجستیک تعمیم یافته ، مقابله ها و روش درستنمایی ماكزیمم و …

فصل دوم : روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده

     زمانی كه خطای تصادفی در یک مدل آماری غیر نرمال باشد ( برای مثال دارای توزیع لجستیک یا وایبل باشد ) برای یافتن برآوردهای درستنمایی ماکزیمم با معادلاتی روبرو هستیم که حل آن ها بدون استفاده از روش های عددی امکان پذیر نیست ، در این صورت  می توانیم از روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده استفاده كنیم . در این فصل روش درستنمایی ماكزیمم اصلاح شده ( MML ) با ذكر مثال معرفی و ویژگی های آن با روش معمولی درستنمایی ماكزیمم ( ML ) مقایسه می شود .

فصل سوم : طرح عاملی 2k با خطای تصادفی وایبل

     در این فصل با بهره گرفتن از روش MML برآورد پارامترها را در یک طرح عاملی k2 با خطای تصادفی وایبل به دست می آوریم و سپس بر اساس برآوردهای بدست آمده آزمون فرض های مرتبط با اثرهای اصلی و متقابل را بررسی  می كنیم .

فصل چهارم : تحلیل كواریانس با خطای تصادفی لجستیک تعمیم یافته

     در این فصل مدل های تحلیل كواریانس را زمانی كه متغیر مستقل و خطای تصادفی هر دو دارای توزیع غیر نرمال باشند بررسی می كنیم . برای این منظور ابتدا از روش MML برآورد پارامترهای مدل را به دست می آوریم آن گاه آماره هایی را برای آزمون فرض های مرتبط با مقابله های خطی معرفی می كنیم .

فصل پنجم : مثال های عددی

    در این فصل كاربرد روش های ذكر شده در فصل های قبل را با ذكر مثال های عددی نشان می دهیم .

 

فصل اول

 

 

 1-1- مقدمه

در این فصل مفاهیم مورد نیاز در پایان نامه بیان می شوند . مفاهیمی از قبیل : طرح های عاملی ، مقابله ها ، تحلیل كواریانس ، توزیع وایبل و خواص آن ، توزیع لجستیک تعمیم یافته  و روش درستنمایی ماكزیمم .

1-2-  طرح های عاملی

طرح های عاملی که توسط فیشر ( 1935) و یتس (1937) معرفی شدند اغلب بهترین و پر استفاده ترین طرح ها برای انجام آزمایش در کاربردهای صنعتی هستند . در این گونه طرح ها اثرهای عوامل چندگانه بر خروجی به صورت همزمان مورد بررسی قرار می گیرند . این طرح ها کارایی بیشتری نسبت به روش قدیمی هر بار یک عامل دارند . همچنین طرح های عاملی توانایی تشخیص و برآورد اثرهای متقابل بین عوامل را فراهم می کنند در حالی که روش هر بار یک عامل این قابلیت را ندارد . در روش هر بار یک عامل ، یک سطح پایه برای هر عامل در نظر گرفته می شود . سپس در هر مرحله سطح یکی از عوامل را تغییر می دهیم در حالی که بقیه عوامل در سطح ثابتی قرار دارند . برای مثال فرض کنید تاثیر دما و ماده اولیه را بر خروجی یک آزمایش شیمیایی بررسی می کنیم .

سطح پایه برای دما و ماده اولیه به ترتیب دمای متوسط و ماده اولیه ب می باشند . آن گاه مشاهدات فقط از تیمارهایی که با * مشخص شده اند ، به دست می آیند . در این حالت بررسی اثر متقابل امکان پذیر نمی باشد .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

دمای زیاد	دمای متوسط	دمای کم
	*		ماده اولیه الف
*	*	*	ماده اولیه ب
	*		ماده اولیه ج

جدول یک – روش هر بار یک عامل

یکی از رایج ترین طرح های عاملی طرح عاملی k 2 است که در آن k تعداد عامل ها و هر عامل دارای دو سطح می باشد .هدف اصلی از این طرح تعیین موثرترین عامل است و در حقیقت این یک آزمایش اکتشافی است که روند بررسی عوامل را برای ما روشن می سازد .

در منابع دوره کارشناسی آمار معمولا طرح های عاملی بر اساس فرض نرمال بودن خطا پایه ریزی شده اند اما در عمل توزیع های غیر نرمال متداول ترند 

1-2-1-  طرح عاملی 22

فرض كنید عوامل A و B هر كدام دارای دو سطح می باشند ، مدل آنالیز واریانس را  به صورت زیر در نظر می گیریم :

 ( 1-2-1 )      

كه در آن µ میانگین كلی،  اثر i امین سطح عامل A ،  اثر j امین سطح عامل B،  اثر متقابل  و  خطای تصادفی می باشد .

1-2-2- مقابله ها

چهار ترکیب تیماری را با نماد (1) ، a ،  b ،ab  نشان می دهیم . (1) نشان دهنده سطح پایین  هر دو عامل (i=1 , j=1 )، a نشان دهنده عامل A در سطح بالا(i=2, j=1 )،    b نشان دهنده عامل B درسطح بالا (i=1 , j=2  )  و ab نشان دهنده سطح بالای هر دو عامل (i=2 , j=2  ) می باشد . در طرح عاملی 22 به بررسی اثرهای اصلی A و B و اثرمتقابل دوعاملی AB علاقه مند هستیم . اثر اصلی عامل A و B را با تفاوت میانگین مشاهدات در سطح بالا و در سطح پایین اندازه گیری می كنیم :

اگر میزان تاثیر عامل A بر خروجی ، به سطح به کار رفته از عامل  B بستگی داشته باشد ، بنا به تعریف اثر متقابل وجود دارد . میزان اثر متقابل A و B را بر متغیر پاسخ به صورت زیر اندازه گیری می کنیم :

با توجه به عبارت مربوط به اثر A ، ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آن A در سطح بالاست ( +a , +ab ) ، 1+ و ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آن A در سطح پایین است یعنی ( (1)b ,  )  ، 1-  است و همچنین   یک مقابله است ( مجموع ضرایب آن برابر صفر است (0=1+1- 1+ 1- ) ) . مقابله های A ، B  و AB  را به این صورت تعریف می کنیم :

ضرایب مقابله ها برای طرح عاملی 22 در جدول زیر داده شده است .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ab	b	A	(1)	اثرها
1+	1-	1+	1-	A
1+	1+	1-	1-	B
1+	1-	1-	1+	AB

جدول دو – ضرایب مقابله ها در طرح عاملی 22

به طور واضح ، مقابله ها نسبت به هم متعامد هستند . مجموع مربعات اثر های اصلی ومتقابل به صورت زیر هستند .

1-2-3- طرح عاملی k2

ساده ترین طرح در رده طرح های k2 ، طرح 22 است . طرح عاملی k2 طرحی است مشتمل بر k عامل ، هر یک در دو سطح ، و چون پاسخ کامل چنین طرحی نیاز به  تیمار دارد آن را طرح k2 نامیده اند . مدل آماری برای طرح k2 شامل   اثر اصلی ،  اثرمتقابل دو عاملی ،  اثر متقابل سه عاملی و بالاخره  اثر متقابل k عاملی است . پس طرح k2  دارای  اثر است . همان طور که در طرح 22 نشان داده شد برای تعیین برآورد یک اثر و محاسبه مجموع مربعات آن اثر باید مقابله مربوط به آن اثر را تعیین کرد . که همواره می توان مقابله ها را با بهره گرفتن از جدول علائم مثبت و منفی ، مانند جدول یک در طرح 22 ، مشخص کرد . برای تعیین مقابله هر اثر کافی است ترکیب های تیماری را در علائم متناظر آن ها در ستون آن اثر ضرب کرده و آن ها را با هم جمع کنیم .اما ممکن است این روش برای به دست آوردن مقابله ها وقتی تعداد عوامل نسبتا زیاد است چندان مناسب نباشد . در این گونه موارد می توان از روش دیگری برای تعیین مقابله ها استفاده کرد . برای تعیین مقابله هر اثر در طرح عاملی k2 مشتمل بر k عامل A ، B ، …. ، و K کافی است ضرب طرف راست عبارت زیر را انجام دهیم

و در آن به جای 1 از نماد (1) استفاده کنیم ، که در آن علامت عدد 1 درون هر پرانتز را منفی می گیریم اگر آن عامل شامل اثر مورد نظر باشد ، و مثبت می گیریم اگر آن عامل شامل اثر مورد نظر نباشد . به محض تعیین مقابله اثرها ،