فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی

1-1.مفاهیم مقدماتی ………………………………………………………………………………………………………………………..2

1-2. پیوستگی هولدر ……………………………………………………………………………………………………………………….5

1-3. فضاهای باناخ و هیلبرت ……………………………………………………………………………………………………………..6

1-4. فضاهای  …………………………………………………………………………………………………………………….10

1-5. قضیه ی دیورژانس …………………………………………………………………………………………………………………..13

1-6. فضاهای سوبولف …………………………………………………………………………………………………………………… 15

1-7. عملگرهای خطی ……………………………………………………………………………………………………………………. 18

1-8 . روش های حساب تغییرات ……………………………………………………………………………………………………….22

فصل دوم: وجود یک جواب غیربدیهی برای مسئله ی p و q-لاپلاسین با غیرخطی مجانبی

2-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………31

2-2. چگونگی ساختار  ……………………………………………………………………………………………………………..37

2-3. وجود یک جواب غیر بدیهی ……………………………………………………………………………………………………51

فصل سوم: بررسی همگرایی نقطه وار توابع در فضای  و فضاهای کلی تر

3-1. حالت  ( ) ……………………………………………………………………………………………………..65

3-2.حالت کلی …………………………………………………………………………………………………………………………….66

فصل چهارم: جواب های چندگانه برای مسئله ی  -لاپلاسین با نمای بحرانی سوبولف

4-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………74

4-2. بررسی وجود جواب ……………………………………………………………………………………………………………….89

منابع …………………………………………………………………………………………………………………………………………..96

واژه نامه انگلیسی به فارسی ……………………………………………………………………………………………………………99

چکیده:

در این پایان نامه ابتدا به بررسی وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله بیضوی غیرخطی  نوع -لاپلاسین که به صورت

تعریف می شود، می پردازیم که در آن ، ،  ، زمانی که ،  به ثابت مثبت  میل می کند و .

برای دست یافتن به جواب این مسأله، به جمع آوری نتایجی در قالب چند لم می پردازیم و نتیجه ی اصلی خود را در قالب دو قضیه مطرح می کنیم و با تکیه بر نتایج به دست آمده به اثبات این قضیه ها می پردازیم.

در ادامه به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع -لاپلاسین زیر، همراه با شرایط مرزی، در فضای سوبولف می پردازیم.

این مسأله به صورت

تعریف می شود که در آن  یک دامنه ی کراندار است ،  ،  نمای بحرانی سوبولف است و  است. می خواهیم ثابت کنیم که اگر داشته باشیم  آنگاه یک  وجود دارد طوری که برای هر  مسأله  دارای جواب است.

برای این منظور نتیجه ی اصلی خود را در قالب یک قضیه مطرح می نماییم سپس جهت اثبات این قضیه به جمع آوری برخی نتایج اولیه در قالب چند لم و یادآوری برخی مفاهیم از نظریه مینی ماکس می پردازیم.

کلمات کلیدی: -لاپلاسین، وجود، جواب غیر بدیهی، جواب های چند گانه، نمای بحرانی.

پیشگفتار:

آنالیز یکی از مهم ترین و تواناترین شاخه های ریاضیات است که رهگشای بسیاری از مسائل ریاضی، فیزیک، مهندسی، مکانیک، مکانیک اتمی و کوانتومی جدید است. در این بین نقش معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر انکار ناپذیر