در این پایان نامه، ابتدا با بهره گرفتن از روش مونت کارلو، رشد سطوحی شبیه سازی شده است که از نشست بالستیکی ذرات خطی با اندازه­ های متفاوت تولید می­شوند. با بررسی زبری و نماهای مقیاسی سطوح رشد یافته، رابطه­ Family-Vicsek برای این سطوح بررسی شده و با توجه به اهمیت تخلخل چنین سطوحی، تحولات تخلخل بعنوان تابعی از زمان و اندازه­ ذرات مورد مطالعه قرار گرفته است. سپس با حل عددی معادله­ رسانش در سطوح رشد یافته، رفتار رسانندگی مؤثر الکتریکی این سطوح، بر حسب کمیت­هایی چون زمان، اندازه­ ذرات، فرکانس و تخلخل بررسی شده است.

نتایج شبیه سازی نشان می­ دهند که منحنی تغییرات زبری بر حسب زمان دارای سه رفتار متفاوت می­باشد، بطوریکه دارای دو رفتار خطی با شیب­های متفاوت در زمان­های اولیه و میانی بوده و سپس به اشباع می­رسد. بررسی تخلخل نشان داد که سطوح تولید شده به شدت متخلخل هستند و تخلخل سریعتر از سطح به اشباع می­رسد. همچنین میزان تخلخل ابتدا تابعی افزایشی از طول ذرات انباشتی بوده  و پس از رسیدن به مقدار بیشینه خود با افزایش طول ذرات کاهش می­یابد.

بررسی رسانندگی مؤثر این سطوح نشان می­دهد که در طی فرایند رشد، رسانندگی با زمان افزایش یافته و بتدریج به اشباع می­رسد. همچنین این کمیت تابعی افزایشی از فرکانس بوده و برای چندین مرتبه­ی بزرگی از فرکانس رسانندگی بصورت تابعی نمایی از فرکانس تغییر می­ کند که مقادیر توان، تابعی از اندازه­ ذرات انباشتی می باشد.

 

 

 

کلمات کلیدی: رشد سطح، زبری، نماهای مقیاسی، تخلخل، رسانندگی مؤثر، فرکانس

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                                        صفحه

………………………………………………………………………………………………………………………………….ت‌

فهرست جدول­ها………………………………………………………………………………………………………………………………….خ

مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………1

7

1-1       توصیف کمی پدیده­­ی رشد…………………………………………………………………………………………………7

1-1-1        روابط مقیاس بندی………………………………………………………………………………………………………………..9

1-1-2        طول همبستگی……………………………………………………………………………………………………………………11

1-2       مدل های رشد سطح…………………………………………………………………………………………………………12

1-2-1        مدل های گسسته………………………………………………………………………………………………………………..13

1-2-1-1     مدل انباشت تصادفی…………………………………………………………………………………………………………………13

1-2-1-2     مدل انباشت تصادفی با واهلش سطحی …………………………………………………………………………………..15

1-2-1-3     مدل انباشت پرتابی……………………………………………………………………………………………………………………17

1-2-1-4     مدل جامد روی جامد محدود شده……………………………………………………………………………………………18

1-2-2        مدل های پیوسته…………………………………………………………………………………………………………………19

1-2-2-1     معادله­ ادوارد-ویلکینسون……………………………………………………………………………………………………..20

1-2-2-2     معادله­ کاردر-پاریزی-ژانگ…………………………………………………………………………………………………..21

1-3       فرایند شبیه سازی رشد سطوح توسط نشست بالستیکی ذرات میله ای شکل………………22

فصل 2     بررسی مسئله رسانش متناوب در جامدات بی نظم……………………………………….25

2-1       رسانش متناوب………………………………………………………………………………………………………………….25

2-1-1        عمومیت رسانش متناوب در جامدات بی نظم…………………………………………………………………….26

2-2       مدل ماکروسکوپیک…………………………………………………………………………………………………………..30

2-2-1        بدست آوردن رسانندگی مؤثر وابسته به فرکانس بارهای آزاد……………………………………………32

2-3       گسسته سازی معادله ی رسانش با بهره گرفتن از روش حجم محدود………………………………….34

2-4       دستگاه های خطی اسپارس………………………………………………………………………………………………37

فصل 3     نتایج عددی………………………………………………………………………………………………42

3-1       بررسی نماهای مقیاسی سطوح رشد یافته توسط نشست ذرات خطی…………………………….42

3-1-1        نشست ذرات یکسان…………………………………………………………………………………………………………….42

3-1-2        نشست ذرات با اندازه های متفاوت……………………………………………………………………………………..46

3-2       تخلخل……………………………………………………………………………………………………………………………….47

3-3       رسانندگی مؤثر………………………………………………………………………………………………………………….49

3-3-1        نحوه ی توزیع پتانسیل در سطوح بر اساس تغییر فرکانس………………………………………………..50

3-3-2        بررسی تحول زمانی رسانندگی بارهای آزاد در طی فرایند رشد سطوح…………………………….50

3-3-3        بررسی  وابستگی رسانندگی مؤثر به اندازه ی ذرات…………………………………………………………..55

3-3-4        بررسی رابطه ی  تخلخل و رسانندگی…………………………………………………………………………………57

3-3-5        رابطه ی رسانندگی مؤثر بارهای آزاد با  فرکانس……………………………………………………………….58

61

پیشنهادات…………………………………………………………………………………………………………….. 62

مقالات ارائه شده……………………………………………………………………………………………………...63

مراجع……………………………………………………………………………………………………………………..64

 

فهرست شکل‌‌ها

عنوان                                                                                                                         صفحه

شکل ‏1‑1: نمودار  زبری بر حسب زمان در حالت کلی. 8

. 9

10

13

15

15

16

. 17

18

19

23

23

.. 24

28

32

35

38

38

39

43

44

45

46

48

49

……. 51

53

54

55

56

57

58

. 59

60

60

 

 

 

 

فهرست جدول­ها

عنوان                                                                                                                          صفحه

جدول 3-1: نماهای مقیاسی رشد و زبری برای سطوح رشد یافته از نسشت ذرات خطی یکسان بر روی زیر لایه­ای با طول . نتایج ارائه شده به ازای 200 بار میانگین گیری می­باشد و میانگین خطای کلیه­ داده ­ها از مرتبه­ی  وکوچکتر از آن است………………………………………………………………………………………………………………………………………45

جدول3-2: نماهای رشد و زبری سطوح رشد یافته از نشست ذرات با طول­های متفاوت برای زیر    لایه­ای با طول . میانگین خطای کلیه­ داده ­ها از مرتبه­ی   و کوچکتر از آن  می­باشد………………………………………………………………………………………………………………………47

مقدمه

مطالعه­ فرایند رشد و ساختار سطح کاربردهای عملی فراوانی در علوم و تکنولوژی دارد و بخش عمده ای از فیزیک حالت جامد و علم مواد را تشکیل می­دهد. در واقع اکثر خواص مواد به ساختار و نحوه شکل گیری آنها وابسته است. فرایندهای رشد سطح نه تنها در گستره­ی وسیعی از کاربردهای فیزیکی بلکه در شیمی، بیولوژی و علوم مهندسی نیز نقش مهمی را ایفا می کند. از این رو تا کنون تحقیقات فراوانی مبتنی بر روش های عددی و یا تحلیلی برای بررسی خواص گوناگون فرایندهای رشد سطح صورت گرفته است[[i]و[ii]].

در واقع شکل گیری سطوح می ­تواند ناشی از فرایندهای متفاوتی باشد. برخی سطوح در نتیجه­­ی حرکت و گسترش فصل مشترک[1] ایجاد شده از شارش سیال در محیط های ناهمگن یا بی نظم شکل می گیرند که بطور مثال به سطوح حاصل از پیشروی آب یا جوهر در کاغذ می­توان اشاره کرد. برخی دیگر از سطوح در اثر کاهش ذرات بوجود می آیند، مانند سطوحی که در اثر  فرسایش، خوردگی و یا پوسیدگی ایجاد می­شوند[[iii]]. سطوحی نیز در اثر اضافه شدن ذرات رشد می کنند مانند باکتریها، تومورها و بافتهای بیولوژیکی [3و[iv]] و یکی از مهمترین سطوحی که توسط فرایندهای رشد شکل    می­گیرند، لایه های نازک هستند که از انباشت های اتمی حاصل می شوند[5-8] و بدلیل خواص ویژه­ای که دارند کاربردهای فراوانی در علوم و تکنولوژی دارند.

همگی این سطوح در طی فرایند رشد، زبر یا ناهموار می­شوند که این ویژگی ناشی از ماهیت تصادفی فرایند رشد می باشد که نقشی اساسی در شکل­ گیری نهایی سطح مشترک دارد. لازم به ذکر است که منشأ این تصادف بستگی به فرایند رشد مورد مطالعه دارد. بعنوان مثال درمورد پیشروی آب یا جوهر در کاغذ، منشأ این تصادف طبیعت بی‌نظم محیطی است که  فصل مشترک درآن گسترش می­یابد و در فرایند انباشت اتمی، تصادفی بودن مکان­­هایی که شار ذرات فرودی در بازه­های زمانی نامعین تصادفی به آنها می رسند و همچنین حرکت براونی [2]ذرات روی سطح در طی فرایند پخش سطحی مسئول این ماهیت تصادفی است.

زبری سطوح روی خواص آن اثر می­گذارد. بعنوان مثال زبری در خواص اپتیکی لایه ­های نازک و پراکندگی مؤثر از این لایه ­ها نقش مهمی بر عهده دارد[9]، همچنین در چسبندگی لایه ­ها به یکدیگر و اصطکاک آنها و یا خاصیت الکتریکی لایه ­ها مؤثر است[10-12].

در مطالعه­ فرایندهای رشد علاوه بر ساختار نهایی سطح، دینامیک رشد یعنی تحول زمانی سطح نیز از اهمیت زیادی برخوردار است. در حقیقت بررسی تحول ناهمواری یا زبری سطح در طی پدیده­ رشد می ­تواند کمک بسزایی در فهم و کنترل این پدیده داشته باشد و از لحاظ کاربردی مهم باشد[13-15].

یکی از مفاهیم مدرنی که برای مطالعه­ دینامیک زبری مورد استفاده قرار می­گیرد مقیاس بندی[3] است. در واقع بسیاری از کمیت­های قابل اندازه ­گیری از روابط مقیاس بندی[4] ساده­ای تبعیت می­ کنند. بعنوان مثال برای تعداد زیادی از سیستم­ها پهنای فصل مشترک با توانی از زمان افزایش می­یابد و در یک مقدار معین اشباع می­ شود که این مقدار بصورت یک قانون توانی با سایز سیستم افزایش می یابد.

مطالعه­ چنین روابط مقیاس بندی به ما اجازه می­دهد تا کلاس­های جهانی[5] را تعریف کنیم. مفهوم جهان شمولی که محصول مکانیک آماری مدرن می­باشد، به بیان این حقیقت می ­پردازد که فاکتورهای ضروری کمی هستند که در تعیین نماهای مشخص کننده­ روابط مقیاسی نقش دارند. بنابراین سیستم­هایی که در نگاه اول هیچ ارتباطی بین آنها وجود ندارد رفتار یکسانی دارند یعنی دارای نماهای بحرانی یکسانی هستند و در یک کلاس جهانی قرار می­گیرند.

شکل­ گیری و تغییر ناهمواری سطوح در حال رشد تحت تأثیر عوامل زیادی است که  تقریباً تشخیص همه­ی آنها غیر ممکن است. یک دانشمند همیشه امیدوار است که تعداد کمی قوانین اصلی برای تعیین شکل و دینامیک سطوح موجود باشد که بتوان با در نظرگرفتن آنها به معرفی مدل­هایی پرداخت که خواص اساسی فرایند رشد را توصیف می کنند.

در چند دهه­ اخیر مطالعات زیادی برای بررسی دینامیک رشد لایه ­های نازک انجام شده و مدل های زیادی ارائه گردیده که با توجه به این مدل­ها مشخصاتی که از این سطوح بدست می ­آید متفاوت است. از جمله­ این مدل­ها می­توان به مدل انباشت تصادفی[6][1]، مدل انباشت تصادفی با واهلش سطحی[7][16]، مدل انباشت پرتابی[8][17و18]، مدل جامد روی جامد محدود شده[9][19] و مدل     کاردر –پاریزی-ژانگ[10][20] اشاره کرد. مدل­های دیگری نیز پیشنهاد شده که در آنها دو یا چند مدل انباشت با هم ترکیب شده اند[21و22] و یا نشست دو نوع ذره مورد بررسی قرار گرفته است[23-25] تا بتوان با بهره گرفتن از آنها زبری سطوح واقعی را توصیف کرد. همچنین اخیراً نشست ذرات با اندازه­ های مختلف به­روش انباشت تصادفی مورد بررسی قرار گرفته است[26-28]. نشست ذرات با اندازه­ های مختلف یکی از راه­های تولید سطوح متخلخل است که این سطوح کاربردهای فراوانی در حافظه های مغناطیسی[29]، سلول های خورشیدی[30] و نانولوله­های کربنی[31و32] دارند.

لایه ­های نازک رسانا، نیمه­رسانا و دی­الکتریک، کاربردهای بسیاری در ساخت افزاره­های فعال و غیر فعال بکار رفته در ابزارآلات الکترونیکی حالت جامد دارند. معمولاً از آنها بعنوان ترکیباتی با ثابت    دی­الکتریک پایین، سنسور­ها، پوشش­­های اپتیکی، مواد عایق و غیره استفاده می­ شود. بنابراین بررسی  خواص انتقالی از جمله رسانندگی الکتریکی نها از اهمیت ویژهای آنها از اهمیت ویژه ای برخوردار است و برای مدت های طولانی بصورت  عملی و نظری مورد مطالعه بوده است[33].

در طی چند دهه­ اخیر مطالعات زیادی روی رسانندگی وابسته به فرکانس جامدات بی نظمی چون؛ نیمه رساناها­ی آمورف[11]، شیشه­های یونی[12] ، پلیمرها[13] ، کریستال­های غیر کامل[14] و … انجام شده است[34-40]. به منظور بررسی مشاهدات تجربی مدل های متعددی ارائه گردیده است[41-43]. بیشترین مطالعات روی مدلی به نام مدل جهشی صورت گرفته است[44و45]. این مدل براساس پرش حامل­های بار در یک محیط تصادفی که معمولاً با یک شبکه نمایش داده می­ شود توصیف    می­ شود. برای وارد کردن اثر بی­نظمی محیط در این مدل، معمولاً نرخ گذار، یعنی احتمال پریدن حامل­­های بار از یک مکان به مکان­های دیگر، بصورت تابعی نمایی از انرژی فعال سازی یا فاصله­ی تونل زنی در نظر گرفته می­ شود که تنها برای پرش به نزدیکترین همسایه­ها غیر صفر است. مدل جهشی تنها در یک بعد حل دقیق دارد و در ابعاد بالاتر از روش­های تقریبی برای حل آن استفاده  می­ شود. این تقریب­ها یک تصویر کیفی از بسیاری از خواص رسانش متناوب فراهم می­ کند ولی مقادیر آنها برای تعیین دقیق رسانندگی وابسته به فرکانس  دقیق نیست. در مدل جهشی معمولاً فرض بر این است که حامل­های بار با یکدیگر بر هم کنش ندارند. بنابراین اثر خود طردی که بنا بر آن در هر مکان شبکه تنها یک ذره می ­تواند وجود داشته باشد و همچنین اثر برهم کنش کلونی نادیده گرفته می­ شود. با وارد کردن این اثرات مدل بسیار پیچیده می­ شود[46]. به منظور وارد کردن بر هم کنش های کولنی از یک مدل ماکروسکوپیک استفاده می­ شود. این مدل از نظر مفهومی از مدل­های جهشی ساده­تر است و براساس اثر معروف ماکسول-واگنر یعنی اثری که در آن ناهمگنی محیط باعث وابستگی رسانندگی به فرکانس می­ شود شکل گرفته است[47].

در این پروژه در ابتدا با بهره گرفتن از روش مونت کارلو به شبیه سازی فرایند رشد سطوحی         می­پردازیم که از نشست ذرات خطی با اندازهای متفاوت در (1+1) بعد ساخته می­شوند. ذرات خطی با بهره گرفتن از مدل انباشت پرتابی(BD) برروی یک سطح تخت می­نشینند. با مطالعه تحول زبری بر حسب زمان، رابطه­ مقیاس بندی فامیلی-ویچک[15] برای این فرایند رشد بررسی می­ شود و با بدست آوردن نماهای مقیاسی، کلاس جهانی نشست ذرات با اندازه­ های متفاوت با بهره گرفتن از مدل BD مورد مطالعه قرار خواهد گرفت و با توجه به اهمیت تخلخل در چنین سطوحی، چگونگی فرایند رشد تخلخل با زمان و وابستگی آن به اندازه­ ذرات مطالعه خواهد شد. سپس با در نظر گرفتن اهمیت خواص رسانندگی چنین سطوحی و تأثیر ساختار و نحوه­ شکل­ گیری آنها روی این خواص، به مطالعه­ رسانندگی مؤثر وابسته به فرکانس و همچنین رسانندگی مستقیم سطوح رشد یافته، با حل عددی معادله­ رسانش در این سطوح، خواهیم پرداخت. تحول زمانی رسانندگی همزمان با  فرایند رشد سطوح را مورد بررسی قرار می­دهیم و به مطالعه­ وابستگی رسانش مؤثر به اندازه­ ذرات، میزان تخلخل سطوح و فرکانس می­پردازیم.

ساختار این پایان نامه بصورت زیر می­باشد:

در فصل اول ابتدا به چگونگی توصیف کمی پدیده­ رشد سطح و معرفی کمیت­هایی چون زبری، نماهای مقیاسی و طول همبستگی پرداخته و به اختصار چند مدل بنیادی رشد سطح معرفی می­ شود. سپس به توضیح شبیه سازی انجام شده برای فرایند رشد سطوح توسط نشست ذرات خطی با مدل BD می­پردازیم.