چکیده:
انتقال حرارت جابجایی آزاد یا طبیعی یکی از پدیده­های باکاربرد بسیاردر صنعت و در محیط پیرامون بشریت است. این پدیده به واسطه­ کاربرد گسترده­ی آن مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفته است و محققین را بر آن داشته تا جریان جابجایی آزاد را بر روی هندسه­هایی چون صفحه، گوه، بیضی، استوانه، مخروط، کره دنبال کنند. در این میان با توجه به اتفاقاتی که جریان تا رسیدن به حالت دایم طی می­ کند و در کل اهمیت جریان در حالت گذرا این حالت مورد توجه محققین قرار گرفته است که در این میان جریان گذرا اطراف برخی هندسه­ها از جمله کره کمتر مورد توجه قرار گرفته است. بنابراین در این پایان نامه به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن میدان مغناطیسی، با در نظر گرفتن جذب و تولید حرارت، با در نظر گرفتن لزجت متغیر با دما و با در نظر گرفتن هدایت حرارتی متغیر با دما پرداخته شده است. از طرفی یکی از بروزترین و کاراترین روش­های عددی ترکیب مربعات دیفرانسیل تکه‏ای (IDQ) با مربعات دیفرانسیل(DQ) می­باشد. به علت نوپا بودن این روش تا کنون از آن در حل عددی مسایل انتقال حرارت هدایت گذرا استفاده شده است. در این پایان نامه جریان­های گذرا اطراف کره با بهره گرفتن از این روش عددی بررسی شده است.
کلید واژه:
مربعات دیفرانسیل، مربعات دیفرانسیل تکه­ای، جابجایی آزاد گذرا، کره، لایه­ی مرزی
فهرست مطالب
عنوان                                                                                                               صفحه
فصل اول: مقدمه
1.1  مقدمه…………………………………………………………………………………………………….. 2
2.1   مروری بر کارهای گذشته…………………………………………………………………………… 4
3.1  اهداف پایان نامه ……………………………………………………………………………………… 15
فصل دوم:
روش مربعات دیفرانسیل و  روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای
1.2- مقدمه…………………………………………………………………………………………………. 17
2.2- انتگرال­گیری مربعی………………………………………………………………………………… 18
3.2- مربعات دیفرانسیلی…………………………………………………………………………………. 19
4.2- محاسبه­ی ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی اول…………………………………………………….. 19
1.4.2- تقریب بلمن………………………………………………………………………………………. 19
1.1.4.2- تقریب اول بلمن……………………………………………………………………………… 19
2.1.4.2- تقریب دوم بلمن……………………………………………………………………………… 20
2.4.2- تقریب کلی شو………………………………………………………………………………….. 21
5.2- محاسبه­ی ضرایب وزنی مشتقات مرتبه­ی دوم و بالاتر……………………………………….. 23
1.5.2-ضرایب وزنی مشتق مرتبه­ی دوم………………………………………………………………. 23
1.1.5.2- تقریب کلی شو……………………………………………………………………………….. 23
2.5.2- رابطه­ بازگشتی شو برای محاسبه­ی مشتق مراتب بالاتر…………………………………. 24
3.5.2- تقریب ضرب ماتریسی…………………………………………………………………………. 26
6.2- اعمال شرایط مرزی………………………………………………………………………………… 27
7.2- انواع انتخاب فواصل بین نقاط……………………………………………………………………. 29
8.2- مربعات دیفرانسیل تکه­ای………………………………………………………………………….. 31
9.2- بررسی کارایی روش مربعات دیفرانسیل……………………………………………………….. 32
1.9.2- جریان جابجایی آزاد دایم بر روی کره دما ثابت………………………………………… 32
1.1.9.2- مدل­سازی ریاضی جریان…………………………………………………………………… 32
2.1.9.2- گسسته­سازی معادلات با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل……………………….. 35
3.1.9.2- نتایج……………………………………………………………………………………………… 36
فصل سوم:
جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت
1.3- بررسی جریان جابجایی آزادگذرا اطراف کره­ی همدما……………………………………. 40
1.1.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 40
2.1.3- گسسته­سازی معادلات با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل…………………………… 43
3.1.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 44
2.3- بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت در حضور میدان مغناطیسی… 44
1.2.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 47
2.2.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 49
3.3- بررسی اثر تولیدو جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت. 50
1.3.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 50
2.3.3- نتایج……………………………………………………………………………………………….. 51
4.3- بررسی اثر لزجت متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت…… 53
1.4.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 54
2.4.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 55
5.3- بررسی اثر هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت       56
1.5.3- مدل­سازی ریاضی جریان…………………………………………………………………….. 57
2.5.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 59
6.3- بررسی اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت       60
1.6.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 60
2.6.3- نتایج……………………………………………………………………………………………… 63
7.3- بررسی اثر لزجت و هدایت  حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت  تحت میدان مغناطیسی با در نظر گرفتن تولید و جذب حرارت………………………………………………………………… 63
1.7.3- مدل­سازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 63
2.7.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 67
فصل چهارم:
بحث و نتیجه ­گیری و پیشنهادات
1.4- بحث و نتیجه ­گیری……………………………………………………………………………….. 69
2.4- پیشنهادات…………………………………………………………………………………………… 70
فهرست مراجع………………………………………………………………………………………………. 72
پیوست­ها
جداول………………………………………………………………………………………………………… 89
اشکال و نمودارها…………………………………………………………………………………………… 96
فهرست جداول:
جدول 1.2 : بررسی استقلال روش از تعداد گره­ها در راستای y در x=0 .
جدول 2.2: بررسی استقلال روش از تعداد گره­ها در راستای x در x=90 .
جدول 3.2: مقایسه ی روش DQ-FD با روش  DQ-DQ.
جدول4.2: بررسی نتایج حاصل از  با بهره گرفتن از DQM .
جدول 5.2: بررسی نتایج حاصل از  با بهره گرفتن از DQM .
جدول 1.3: بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای y در حالت دایم کد گذرا در x=0 .

جدول 2.3 : بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای x در حالت دایم کد گذرا در  x=90 .
جدول 3.3 : بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای در حالت دایم کد گذرا در x=90 .
جدول 4.3 : مقایسه ی روش DQ_IDQ با روش  DQ_DQ.
فهرست اشکال:
شکل 1.2: انتگرال­گیری مربعی
شکل 2.2: مقایسه­ توزیع چبشف-گوس-لوباتو با توزیع یکنواخت در شبکه­ 8*15
شکل2.3: چگونگی برخورد روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای با یک تابع زمان­مند دلخواه
شکل 4.2: نحوه­ تکه تکه­کردن دامنه­ محاسباتی در روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای
شکل 5.2: نمایی از مسیله مورد مطالعه
شکل6.2 : اثر تغییر زاویه برروند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در لایه ی مرزی با
شکل1.3: بررسی روند انتقال حرارت گذرا تا رسیدن به حالت دایم
شکل2.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با  در با
شکل3.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در
شکل4.3 : اثر برروند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در
شکل5.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل6.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل7.3 : اثر  بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در  با
شکل8.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با
شکل9.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل10.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل11.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در با
شکل12.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با
شکل13.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل14.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل15.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در با
شکل16.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با
شکل17.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل18.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل19.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با  در با
شکل20.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم  با
شکل21.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در  با
شکل22.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)در  با
شکل23.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ب) در حالت دایم در با
شکل24.3 : اثر بر روند تغییرات توزیع دما (الف) و اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل25.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در حالت دایم با
شکل26.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با
شکل27.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف)، اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ب)، اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ج) و اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (د)  در حالت دایم در با
شکل28.3 : اثر بر روند تغییرات توزیع دما (الف)، اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ب)، اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ج) و اثر بر روند تغییرات توزیع دما (د)  در حالت دایم در با
شکل29.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (د)  در با
شکل30.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (د)  در با
شکل31.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (د)  در حالت دایم با
شکل32.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (د)  در حالت دایم با
فهرست علایم:

مقدمه:
یکی از پدیده­های انتقال حرارت، جابجایی آزاد یا طبیعی است. تغییر چگالی­ای که بواسطه­­ی گرادیان دما ایجاد می­ شود منجر به جاری شدن سیال می­گردد. حرکت سیال در جابجایی آزاد در مجاورت یک سطح در نتیجه­ نیروهای شناوری است که به واسطه­ گرادیان دما  اعمالی بر سیال در نزدیکی سطح و تغییرات چگالی سیال می­باشد. نیروهای شناوری که موجب جریان­های جابجایی آزاد می­شوند را نیروهای حجمی[1] می­گویند. تاریخچه­ی تحقیقات اولیه­ی که این جریان را در نظر گرفتند، به یک صده قبل باز می­گردد. از آن زمان تاکنون داده ­ها، روابط و تحلیل­هایی که بر این جریان حاکم می­باشند با رشد فوق­العاده­ی افزایش پیدا کرده ­اند. علاقه­ بی­شماری که بشریت به این پدیده نشان می­دهد، بازتاب نیاز فوق­العاده­ی است که بشر به این پدیده­ جالب و حیاتی احساس می­کرده است. اهمیت و تنوعی که در بکارگیری این پدیده در صنعت و محیط اطراف به چشم می­آید، نشان بر کاربرد گسترده­ی این پدیده دارد. این پدیده گاه به تنهایی و گاه با ترکیب شدن با سایر پدیده­های انتقال در انتقال حرارت و جرم بکار گرفته شده است.
از طرفی با توجه به اینکه سیستم­های واقعی فیزیکی یا مسائل مهندسی که بواسطه­ این پدیده ایجاد می­شوند به کمک معادلات پاره­ای توصیف می­شوند، در اکثر حالت­ها، حل بسته­ی[2] آن­ها فوق­العاده سخت است. بدین سبب، روش­های تقریبی عددی به صورت گسترده­ای برای حل این معادلات، مورد استفاده قرار می­گیرند. بیشترین روش­های عددی که برای حل این­گونه مسائل به کار گرفته می­شوند، روش­های المان محدو­د[3]، تفاضل محدود[4] و حجم محدود[5] می­باشد این سه روش جز روش­های مرتبه­ی پایین طبقه ­بندی می­شوند. روش­های مرتبه­ی پایین برای بدست آوردن دقت کافی در محاسبات نیازمند تعداد گره­های محاسباتی بالایی هستند. در مسایلی که چند بعد محاسباتی دارد نیاز به ظرفیت محاسباتی بالا برای حفظ دقت محاسبات بیشتر نمود پیدا می­ کند. بنابراین محققین تلاش­ هایی به منظور دست­یابی به روش­هایی که با تعداد گره­های محاسباتی کم، منجر به نتایجی با دقت بالا گردند را آغاز کردند. از این روش­ها تحت عنوان روش­های مرتبه­ی بالا یاد می­ شود. از جمله­ ماحصل این تلاش­ها می­توان به روش­های طیفی[6] و مربعات دیفرانسیل[7] اشاره کرد. همان­گونه که گفته شد یکی از مزایای این روش دست­یابی به دقت محاسباتی مناسب در عین کم بودن تعداد گره­های محاسباتی است.
روش مربعات دیفرانسیل برای اولین بار توسط ریچارد بلمن و همکارنش در اوایل دهه­ 70 میلادی به کار گرفته شده است. روش مربعات دیفرانسیل برگرفته شده از روش انتگرال­گیری مربعی[8] می­باشد. در این روش مقدار مشتق تابع در هر نقطه را با بهره گرفتن از مجموع حاصل­ضرب مقادیر تابع در مقادیر وزنی مرتبط در طول راستای مورد نظر تقریب می­زنند. نکته­ی کلیدی در بکار بردن این روش، تعیین ضرایب وزنی است. بدلیل محدودیت­هایی که در اعمال روش­های اولیه­ی تعیین ضرایب وزنی وجود داشت، این روش تا سال­های متمادی کمتر مورد استفاده قرار گرفت. تا این­که پژوهش­هایی که محققین در اواخر دهه­80 و اوایل دهه­ 90 به منظور پیدا کردن ضرایب وزنی ساده­تر انجام دادند، منجر به معرفی این روش به عنوان ابزار عددی قدرتمندی در دو دهه­ اخیر شد.