فصل اول. 1

مقدمه. 1

1-1  قراردادِ یکایی.. 1

1-2  معرفی مفاهیم ارجاعی: ذرات نقطه‌ای، ریسمان‌ها و لایه‌ها 3

1-3  انگیزه، هدف و ساختار تحقیق.. 10

فصل دوم. 17

گرانش در ابعاد بالا. 17

2-1  بُعد چهارم و نظریه نسبیت عام اینشتین.. 17

2-2  نظریه میدان‌های کلاسیکی: فرمول‌بندی لاگرانژی میدان‌های گرانشی.. 25

2-3  کُنشِ مرزی نظریه نسبیت عام. 27

2-4  ایزومتری و میدان‌های برداری کیلینگ.. 28

2-5  جواب‌های نظریه نسبیت عام. 29

2-5-1  فضازمانِ آنتی دوسیته در  بُعد. 30

2-5-2  حل استاتیک باردار  بُعدی معادلات میدان اینشتین در حضور ثابت کیهان‌شناسی   31

2-6  گرانش لاولاک: گسترش استاندارد نسبیت عام به ابعاد بالا. 32

2-7  کُنش مرزی در گرانش لاولاک مرتبه سوم. 36

2-8  روش کانترترم و رفع واگرایی در محاسبه کمیت‌های پایا 37

فصل سوم. 42

نظریه­ی الکترودینامیک غیرخطی.. 42

3-1    الکترودینامیک ماکسول. 43

3-1-1  جرم الکترومغناطیسی و مسئله­ واگرائی خودانرژی بارهای نقطه­ای.. 45

3-1-2  اصل برهم­نهی خطی در نظریه ماکسول. 47

3-2  نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 48

3-2-1  معادلات میدان در نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 51

3-2-2  محاسبه‌ی شدت میدان مطلق … 55

3-2-3  معادلاتِ موج در نظریه­ های الکترودینامیک غیرخطی.. 56

3-3  جمع­بندی.. 58

فصل چهارم. 60

ترمودینامیک سیاه‌چاله‌ها در گرانش لاولاک… 60

4-1  ترمودینامیک سیستم­ها در طبیعت.. 61

4-2 ترمودینامیک سیاهچاله­ها 64

4-3 ترمودینامیک سیاهچاله­ها در گرانش خمش مراتب بالا. 68

4-4  کمیت­های ترمودینامیکی.. 70

4-4-1 بار الکتریکی.. 70

4-4-2 پتانسیل الکتریکی.. 71

4-4-2 سرعت زاویه‌ای.. 71

فصل پنجم. 73

ترمودینامیک جواب­های گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاس­های نمائی و لگاریتمی نظریه الکترودینامیک غیرخطی.. 73

5-1  کُنش و معادلات میدان گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی   74

5-2 جوابهای سیاهچاله­های باردار استاتیک در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکل­های نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی.. 75

5-2-1  جواب­های باردار استاتیک 1+6 بُعدی.. 79

5-2-2  معرفی جرمِ هندسی در گرانش لاولاک مرتبه سوم. 82

5-2-3  خصوصیات فضازمانِ جواب­های باردار استاتیک 1+6 بُعدی.. 83

5-2-4  جواب­های سیاهچاله­های باردار استاتیک  بُعدی.. 91

5-3  بررسی ترمودینامیک سیاهچاله­های لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی   94

5-4  طبیعتِ پایداری سیاه‌چاله‌ها در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ.. 99

5-4-1  بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچاله­های باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی.. 100

 

5-4-2  بررسی پایداری ترمودینامیکی سیاهچاله­های باردار مجانباً تخت در آنسامبل کانونی بزرگ    105

5-5  لایه ­های سیاهِ چرخانِ باردار مجانباً  در گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور شکل­های نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی.. 110

5-6  بررسی ترمودینامیک لایه ­های سیاه چرخانِ باردار مجانباً  گرانشِ لاولاک مرتبه سوم در حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی.. 114

5-7  طبیعتِ پایداری لایه ­های سیاه در آنسامبل‌های کانونی و کانونی بزرگ.. 120

5-7-1  بررسی پایداری ترمودینامیکی لایه ­های سیاه چرخانِ باردار مجانباً  در آنسامبل کانونی   120

5-7-2  بررسی پایداری ترمودینامیکی لایه ­های سیاه چرخانِ باردار مجانباً  در آنسامبل کانونی بزرگ    123

فصل ششم. 127

نتیجه ­گیری و پیشنهادات.. 127

پیوست الف.. 132

پیوست ب.. 134

پیوست ج. 135

مراجع. 137

فهرست شکل­ها

شکل 1-1: نظریه  به عنوان نظریه مادر برای پنج نظریه اَبرریسمان 10 بُعدی و نظریه اَبرگرانش 11 بُعدی ……………. 8

شکل 2-1: شکل سمت چپ تقسیم فضای فیزیکی به صفحاتِ زمان ثابت در چارچوبِ 4 مختصه­ای فضا و زمان در نظریه نیوتن. یک نقطه­ در این چارچوب یک رویداد نامیده می­ شود و مسیر یک ذره در فضا و زمان توسط پیوستاری یک بُعدی از رویدادها، تحت عنوان جهان­خط، مشخص می­ شود. شکل سمت راست لایه‌بندی فضازمان در نظریه نسبیت خاص را نشان می­دهد …………………………………………………………. ………………………………………………………………………19

شکل 2-2: دستگاه مختصات یک نگاشت از خمینه به فضای اقلیدسی است …………………………………………………………22

شکل 2-3: یک تبدیل مختصات بین دو مجموعه مختصات ………………………………………………………………………..23

شکل 3-1: تغییرات  بر حسب . شکل سمت چپ به ازای مقادیر  و .  شکل میانی به ازای مقادیر  و ؛ دیده می­ شود که با افزایش  سه مدل در فاصله­ی مکانی خیلی کوچک برهم منطبق می­شوند. شکل سمت راست رفتار در نزدیکی مبدأ به ازای مقادیر  و  را نشان می­دهد ………………………………55

شکل 5-1: مقایسه رفتار تابع­های متریک  (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمان­های مجانباً تخت . به ازای مقادیر ………………….86

شکل 5-2: مقایسه رفتار تابع­های متریک  (لگاریتمی، نمائی و ماکسولی) برای فضازمان­های مجانباً . به ازای مقادیر  …………………86

شکل 5-3: تغییرات تابع متریک  نسبت به  برای کلاس­های  (شکل مشکی رنگ) و  (شکل آبی رنگ) برای حالت­های متفاوت پارامترِ جرم. به ازای مجموعه مقادیر ……………………………………………………………………………………………….88

شکل 5-4: تغییرات تابع متریک  نسبت به  برای کلاس­های (شکل مشکی رنگ)  و  (شکل آبی رنگ) به ازای مقادیر ، ،  و . در شکل خطوط باریک مربوط به حالت  (سیاه­چاله­ با یک اُفق)، خطوط پررنگ مربوط به حالت  (سیاه­چاله با دو اُفق)، خطوط نقطه­ای مربوط به حالت  (سیاه­چاله با اُفق اکستریم) و خطوط خط-نقطه­ای مربوط به حالت  (تکینگی عریان) هستند………………………………………………………………………..90

شکل 5-5: برای کلاس – تغییرات دما بر حسب   (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب  (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ………………102

شکل 5-6: برای کلاس – تغییرات ظرفیت گرمایی  بر حسب . شکل سمت چپ تغییرات در دامنه­های کوچک   را نشان می­دهد. شکل سمت راست تغییرات در مقادیر بزرگ­تر  را نشان می­دهد. به ازای مقادیر …………………………………………….103

شکل 5-7: برای کلاس – تغییرات دما بر حسب   (شکل سمت چپ) و تغییرات دما بر حسب  (شکل سمت راست). به ازای مقادیر ……………..104

شکل 5-8: برای کلاس – تغییرات ظرفیت گرمایی  بر حسب . به ازای مقادیر ……………………………………….104

شکل 5-9: برای کلاس – از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب . به ازای مقادیر …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………107

شکل 5-10: برای کلاس – از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما، ظرفیت گرمایی و دترمینان ماتریس هسیان (در آنسامبل کانونی بزرگ) بر حسب . به ازای مقادیر  …………………………………………………………………………………………………………………………….108

شکل 5-11: برای کلاس – از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب . به ازای مقادیر  ………………………………….122

شکل 5-12: : برای کلاس – از چپ به راست به ترتیب تغییرات جرم، دما و ظرفیت گرمایی بر حسب . به ازای مقادیر ………………………….122

شکل 5-13: تغییرات دترمینان ماتریس هسیان در آنسامبل کانونی بزرگ . شکل سمت چپ مربوط به کلاس  و شکل سمت راست برای کلاس . به ازای مقادیر …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………1

چکیده

در گرانش لاولاک تلاش­ هایی برای فهمیدن نقش جملات خمش مراتب بالا از دیدگاه ­های مختلف، به ویژه در زمینه­ فیزیک سیاه­چاله­ها، شده است. در این پایان نامه با در نظر گرفتن گرانش لاولاک مرتبه سوم در حضور کلاس­های نمائی و لگاریتمی الکترودینامیک غیرخطی، دو نوع جدید از جواب­های سیاه­چاله­ای توپولوژیکی در ابعاد 1+6 بُعد و بالاتر را که شاملِ سیاه­چاله­های باردارِ استاتیک مجانباً تخت، و لایه ­های سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته می­باشد معرفی می­کنیم. تأثیرات میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی را بر جواب­ها بررسی می­کنیم و خواهیم دید که به ازای مقادیر مناسب برای پارامترهای متریک، این جواب­ها می­توانند به عنوان سیاه­چاله­ (لایه سیاه)هایی با دو اُفق رویداد، یک اُفق اکستریم و یا یک تکینگی عُریان تفسیر شوند. کمیت­های پایای ترمودینامیکی از قبیل دما، آنتروپی، جرم، بار الکتریکی و … را برای جواب­ها محاسبه کرده و نشان می­دهیم که قانون اول ترمودینامیک برای سیاه­چاله­های باردارِ استاتیک مجانباً تخت و لایه ­های سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته برقرار است. در ادامه تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای سیاه­چاله­های باردارِ استاتیک مجانباً تخت با محاسبه دترمینان ماتریس هسیان در دو آنسامبل کانونی و کانونی بزرگ انجام داده و نشان می­دهیم که پایداری سیاه­چاله­ها در گرانش لاولاک مرتبه سوم می ­تواند به نوع آنسامبل انتخابی بستگی داشته باشد، بدین معنی که جملات خمش مراتب بالا روی پایداری سیاه­چاله­ها تأثیر می­گذارد. در این بین نتایجی به دست می ­آید که نشان می­دهد حضور میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در رفتار آنسامبل­های متفاوت دارد. در پایان تحلیل پایداری ترمودینامیکی را برای لایه ­های سیاه باردارِ چرخانِ مجانباً آنتی دوسیته انجام داده و نشان می­دهیم که حضور جملات خمش مراتب بالا و میدان­های الکترومغناطیسی غیرخطی تأثیر یکسانی در پایداری لایه ­های سیاه در آنسامبل­های کانونی و کانونی بزرگ دارد. هم­چنین نشان می­دهیم که لایه ­های سیاه فیزیکی (با دمای مثبت) دارای رفتار ترمودینامیکی پایداری هستند.
مقدمه

1-1  قراردادِ یکایی
برای کاربردهای بعدی، ابتدا مشخص می‌کنیم که در چه یکایی از یکاهای فیزیکی کار می‌کنیم. در این پایان‌نامه از واحدهای طبیعی[1]  استفاده می‌کنیم به جز مواردی که خلاف آن ذکر شود. در واحدی که کار می­کنیم  ثانیه به طور دقیق برابر است با  متر. بنابراین برای سرعت نور خواهیم داشت  و برای گذردهی الکتریکی و تراویی مغناطیسی خلأ مقدار  را اختیار می‌کنیم. در نتیجه ثابت کولن برابر  به دست می‌آید. علاوه بر این برای ثابت پلانک و ثابت بولتزمن نیز مقدار واحد را انتخاب می‌کنیم:

بنابراین در واحدهای طبیعی داریم:

و برای سادگی انتخاب می‌کنیم:

بنابراین با مختصر نویسی داریم . از آن‌جایی که کُنشِ ، بنا به تعریف، انتگرالِ زمانی یک لاگرانژین  (با واحدِ انرژی) است بنابراین تمام کُنش‌ها بدون بُعد خواهند بود یعنی .  در نتیجه برای عنصرِ حجم خواهیم داشت: