چکیده:
انتقال حرارت جابجایی آزاد یا طبیعی یکی از پدیدههای باکاربرد بسیاردر صنعت و در محیط پیرامون بشریت است. این پدیده به واسطه کاربرد گستردهی آن مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفته است و محققین را بر آن داشته تا جریان جابجایی آزاد را بر روی هندسههایی چون صفحه، گوه، بیضی، استوانه، مخروط، کره دنبال کنند. در این میان با توجه به اتفاقاتی که جریان تا رسیدن به حالت دایم طی می کند و در کل اهمیت جریان در حالت گذرا این حالت مورد توجه محققین قرار گرفته است که در این میان جریان گذرا اطراف برخی هندسهها از جمله کره کمتر مورد توجه قرار گرفته است. بنابراین در این پایان نامه به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن میدان مغناطیسی، با در نظر گرفتن جذب و تولید حرارت، با در نظر گرفتن لزجت متغیر با دما و با در نظر گرفتن هدایت حرارتی متغیر با دما پرداخته شده است. از طرفی یکی از بروزترین و کاراترین روشهای عددی ترکیب مربعات دیفرانسیل تکهای (IDQ) با مربعات دیفرانسیل(DQ) میباشد. به علت نوپا بودن این روش تا کنون از آن در حل عددی مسایل انتقال حرارت هدایت گذرا استفاده شده است. در این پایان نامه جریانهای گذرا اطراف کره با بهره گرفتن از این روش عددی بررسی شده است.
کلید واژه:
مربعات دیفرانسیل، مربعات دیفرانسیل تکهای، جابجایی آزاد گذرا، کره، لایهی مرزی
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول: مقدمه
1.1 مقدمه…………………………………………………………………………………………………….. 2
2.1 مروری بر کارهای گذشته…………………………………………………………………………… 4
3.1 اهداف پایان نامه ……………………………………………………………………………………… 15
فصل دوم:
روش مربعات دیفرانسیل و روش مربعات دیفرانسیل تکهای
1.2- مقدمه…………………………………………………………………………………………………. 17
2.2- انتگرالگیری مربعی………………………………………………………………………………… 18
3.2- مربعات دیفرانسیلی…………………………………………………………………………………. 19
4.2- محاسبهی ضرایب وزنی مشتق مرتبهی اول…………………………………………………….. 19
1.4.2- تقریب بلمن………………………………………………………………………………………. 19
1.1.4.2- تقریب اول بلمن……………………………………………………………………………… 19
2.1.4.2- تقریب دوم بلمن……………………………………………………………………………… 20
2.4.2- تقریب کلی شو………………………………………………………………………………….. 21
5.2- محاسبهی ضرایب وزنی مشتقات مرتبهی دوم و بالاتر……………………………………….. 23
1.5.2-ضرایب وزنی مشتق مرتبهی دوم………………………………………………………………. 23
1.1.5.2- تقریب کلی شو……………………………………………………………………………….. 23
2.5.2- رابطه بازگشتی شو برای محاسبهی مشتق مراتب بالاتر…………………………………. 24
3.5.2- تقریب ضرب ماتریسی…………………………………………………………………………. 26
6.2- اعمال شرایط مرزی………………………………………………………………………………… 27
7.2- انواع انتخاب فواصل بین نقاط……………………………………………………………………. 29
8.2- مربعات دیفرانسیل تکهای………………………………………………………………………….. 31
9.2- بررسی کارایی روش مربعات دیفرانسیل……………………………………………………….. 32
1.9.2- جریان جابجایی آزاد دایم بر روی کره دما ثابت………………………………………… 32
1.1.9.2- مدلسازی ریاضی جریان…………………………………………………………………… 32
2.1.9.2- گسستهسازی معادلات با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل……………………….. 35
3.1.9.2- نتایج……………………………………………………………………………………………… 36
فصل سوم:
جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت
1.3- بررسی جریان جابجایی آزادگذرا اطراف کرهی همدما……………………………………. 40
1.1.3- مدلسازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 40
2.1.3- گسستهسازی معادلات با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل…………………………… 43
3.1.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 44
2.3- بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت در حضور میدان مغناطیسی… 44
1.2.3- مدلسازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 47
2.2.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 49
3.3- بررسی اثر تولیدو جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت. 50
1.3.3- مدلسازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 50
2.3.3- نتایج……………………………………………………………………………………………….. 51
4.3- بررسی اثر لزجت متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت…… 53
1.4.3- مدلسازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 54
2.4.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 55
5.3- بررسی اثر هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت 56
1.5.3- مدلسازی ریاضی جریان…………………………………………………………………….. 57
2.5.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 59
6.3- بررسی اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت 60
1.6.3- مدلسازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 60
2.6.3- نتایج……………………………………………………………………………………………… 63
7.3- بررسی اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت تحت میدان مغناطیسی با در نظر گرفتن تولید و جذب حرارت………………………………………………………………… 63
1.7.3- مدلسازی ریاضی جریان……………………………………………………………………… 63
2.7.3- نتایج………………………………………………………………………………………………. 67
فصل چهارم:
بحث و نتیجه گیری و پیشنهادات
1.4- بحث و نتیجه گیری……………………………………………………………………………….. 69
2.4- پیشنهادات…………………………………………………………………………………………… 70
فهرست مراجع………………………………………………………………………………………………. 72
پیوستها
جداول………………………………………………………………………………………………………… 89
اشکال و نمودارها…………………………………………………………………………………………… 96
فهرست جداول:
جدول 1.2 : بررسی استقلال روش از تعداد گرهها در راستای y در x=0 .
جدول 2.2: بررسی استقلال روش از تعداد گرهها در راستای x در x=90 .
جدول 3.2: مقایسه ی روش DQ-FD با روش DQ-DQ.
جدول4.2: بررسی نتایج حاصل از با بهره گرفتن از DQM .
جدول 5.2: بررسی نتایج حاصل از با بهره گرفتن از DQM .
جدول 1.3: بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای y در حالت دایم کد گذرا در x=0 .
جدول 2.3 : بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای x در حالت دایم کد گذرا در x=90 .
جدول 3.3 : بررسی استقلال روش از تعداد گره ها در راستای در حالت دایم کد گذرا در x=90 .
جدول 4.3 : مقایسه ی روش DQ_IDQ با روش DQ_DQ.
فهرست اشکال:
شکل 1.2: انتگرالگیری مربعی
شکل 2.2: مقایسه توزیع چبشف-گوس-لوباتو با توزیع یکنواخت در شبکه 8*15
شکل2.3: چگونگی برخورد روش مربعات دیفرانسیل تکهای با یک تابع زمانمند دلخواه
شکل 4.2: نحوه تکه تکهکردن دامنه محاسباتی در روش مربعات دیفرانسیل تکهای
شکل 5.2: نمایی از مسیله مورد مطالعه
شکل6.2 : اثر تغییر زاویه برروند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در لایه ی مرزی با
شکل1.3: بررسی روند انتقال حرارت گذرا تا رسیدن به حالت دایم
شکل2.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با در با
شکل3.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در
شکل4.3 : اثر برروند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در
شکل5.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل6.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل7.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در با
شکل8.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با
شکل9.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل10.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل11.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در با
شکل12.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با
شکل13.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل14.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل15.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در با
شکل16.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با
شکل17.3 : روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) با تغییر در باو
شکل18.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل19.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) با در با
شکل20.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با
شکل21.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در با
شکل22.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)در با
شکل23.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف) و اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ب) در حالت دایم در با
شکل24.3 : اثر بر روند تغییرات توزیع دما (الف) و اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ب) در حالت دایم در با
شکل25.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب) در حالت دایم با
شکل26.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب) در حالت دایم با
شکل27.3 : اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (الف)، اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ب)، اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (ج) و اثر بر روند تغییرات پروفیل سرعت (د) در حالت دایم در با
شکل28.3 : اثر بر روند تغییرات توزیع دما (الف)، اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ب)، اثر بر روند تغییرات توزیع دما (ج) و اثر بر روند تغییرات توزیع دما (د) در حالت دایم در با
شکل29.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (د) در با
شکل30.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (د) در با
شکل31.3 : اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (الف)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ب)، اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (ج) و اثر بر روند تغییرات ضریب اصطکاک دیواره (د) در حالت دایم با
شکل32.3 : اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (الف)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ب)، اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (ج) و اثر بر روند تغییرات ناسلت محلی (د) در حالت دایم با
فهرست علایم:
a | شعاع کره |
ماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبهی اول | |
ماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبهی دوم | |
میدان مغناطیسی | |
ماتریس ضرایب وزنی مشتق مرتبهی سوم | |
گرمای ویژه در فشار ثابت | |
سرعت بدون بعد | |
میدان جاذبه | |
عدد گراشف | |
H | پارامتر تولید و جذب حرارت |
هدایت حرارتی | |
M | تعداد گرهها در جهت y |
تعداد گرهها در جهت x | |
پارامتر هیدرومغناطیس | |
تعداد گرهها در جهت | |
عدد پرانتل | |
نرخ تولید یا جذب حرارت حجمی | |
ثابت تولید یا جذب حرارت | |
T | زمان دارای بعد |
t” | زمان بدون بعد |
T | دمای سیال |
سرعت بدون بعد در راستای x | |
U | مولفهی سرعت در راستای X |
سرعت بدون بعد در راستای y | |
V | مولفهی سرعت در راستای Y |
x | مختصات بیبعد شده در راستای سطح کره |
X | مختصات در راستای سطح کره |
y | مختصات بیبعد شده در راستای عمود بر سطح کره |
Y | مختصات در راستای عمود بر سطح کره |
ضریبی که خاصیت هدایت حرارتی را به اختلاف دما مرتبط می کند | |
ضریب انبساط حرارتی | |
ضریب که لزجت را به اختلاف دما مرتبط می کند | |
پارامتر بدون بعد در هدایت حرارتی | |
پارامتر بدون بعد در لزجت | |
لزجت دینامیکی سیال | |
لزجت سینماتیکی سیال | |
دمای بدون بعد | |
چگالی سیال | |
ضریب هدایت الکتریکی سیال | |
زمان بدون بعد | |
تابع جریان | |
پایین نویس | |
مقادیر در فاصلهی بسیار دور از سطح کره | |
W | مقادیر درسطح کره |
بالانویس | |
نشانگر ماتریس ضرایب اصلاح شده |
مقدمه:
یکی از پدیدههای انتقال حرارت، جابجایی آزاد یا طبیعی است. تغییر چگالیای که بواسطهی گرادیان دما ایجاد می شود منجر به جاری شدن سیال میگردد. حرکت سیال در جابجایی آزاد در مجاورت یک سطح در نتیجه نیروهای شناوری است که به واسطه گرادیان دما اعمالی بر سیال در نزدیکی سطح و تغییرات چگالی سیال میباشد. نیروهای شناوری که موجب جریانهای جابجایی آزاد میشوند را نیروهای حجمی[1] میگویند. تاریخچهی تحقیقات اولیهی که این جریان را در نظر گرفتند، به یک صده قبل باز میگردد. از آن زمان تاکنون داده ها، روابط و تحلیلهایی که بر این جریان حاکم میباشند با رشد فوقالعادهی افزایش پیدا کرده اند. علاقه بیشماری که بشریت به این پدیده نشان میدهد، بازتاب نیاز فوقالعادهی است که بشر به این پدیده جالب و حیاتی احساس میکرده است. اهمیت و تنوعی که در بکارگیری این پدیده در صنعت و محیط اطراف به چشم میآید، نشان بر کاربرد گستردهی این پدیده دارد. این پدیده گاه به تنهایی و گاه با ترکیب شدن با سایر پدیدههای انتقال در انتقال حرارت و جرم بکار گرفته شده است.
از طرفی با توجه به اینکه سیستمهای واقعی فیزیکی یا مسائل مهندسی که بواسطه این پدیده ایجاد میشوند به کمک معادلات پارهای توصیف میشوند، در اکثر حالتها، حل بستهی[2] آنها فوقالعاده سخت است. بدین سبب، روشهای تقریبی عددی به صورت گستردهای برای حل این معادلات، مورد استفاده قرار میگیرند. بیشترین روشهای عددی که برای حل اینگونه مسائل به کار گرفته میشوند، روشهای المان محدود[3]، تفاضل محدود[4] و حجم محدود[5] میباشد این سه روش جز روشهای مرتبهی پایین طبقه بندی میشوند. روشهای مرتبهی پایین برای بدست آوردن دقت کافی در محاسبات نیازمند تعداد گرههای محاسباتی بالایی هستند. در مسایلی که چند بعد محاسباتی دارد نیاز به ظرفیت محاسباتی بالا برای حفظ دقت محاسبات بیشتر نمود پیدا می کند. بنابراین محققین تلاش هایی به منظور دستیابی به روشهایی که با تعداد گرههای محاسباتی کم، منجر به نتایجی با دقت بالا گردند را آغاز کردند. از این روشها تحت عنوان روشهای مرتبهی بالا یاد می شود. از جمله ماحصل این تلاشها میتوان به روشهای طیفی[6] و مربعات دیفرانسیل[7] اشاره کرد. همانگونه که گفته شد یکی از مزایای این روش دستیابی به دقت محاسباتی مناسب در عین کم بودن تعداد گرههای محاسباتی است.
روش مربعات دیفرانسیل برای اولین بار توسط ریچارد بلمن و همکارنش در اوایل دهه 70 میلادی به کار گرفته شده است. روش مربعات دیفرانسیل برگرفته شده از روش انتگرالگیری مربعی[8] میباشد. در این روش مقدار مشتق تابع در هر نقطه را با بهره گرفتن از مجموع حاصلضرب مقادیر تابع در مقادیر وزنی مرتبط در طول راستای مورد نظر تقریب میزنند. نکتهی کلیدی در بکار بردن این روش، تعیین ضرایب وزنی است. بدلیل محدودیتهایی که در اعمال روشهای اولیهی تعیین ضرایب وزنی وجود داشت، این روش تا سالهای متمادی کمتر مورد استفاده قرار گرفت. تا اینکه پژوهشهایی که محققین در اواخر دهه80 و اوایل دهه 90 به منظور پیدا کردن ضرایب وزنی سادهتر انجام دادند، منجر به معرفی این روش به عنوان ابزار عددی قدرتمندی در دو دهه اخیر شد.
[دوشنبه 1399-10-01] [ 04:40:00 ب.ظ ]
|