در این پایان‌نامه، هدف مطالعه‌ی مجموعه‌های ناهموار ( فازی ) و ارتباط آن با گروه‌ها و حلقه‌ها است. ابتدا فضای تقریب و مجموعه‌های ناهموار را تعریف می‌كنیم و كاربرد آن را در گروه‌ها و حلقه‌ها بیان می‌كنیم. زیرگروه‌ها و زیرحلقه‌ها و ایده‌آل‌های Tـ  فازی ناهموار را معرفی كرده و نشان می‌دهیم چهارچوب كلی‌تری نسبت به زیرگروه‌ها و زیرحلقه‌ها و ایده‌‌آل‌های Tـ  فازی برای t– نرم دلخواه دارند. تأثیر همریختی بر آن‌ ها را بیان كرده و برخی از مفاهیم را در مورد مجموعه‌های ناهموار فازی را نیز بیان  می‌كنیم.

پیشگفتار

نظریه مجموعه‌های ناهموار به عنوان تعمیمی از نظریه مجموعه‌های كلاسیك، برای كار با داده‌های نادقیق است كه برای اولین بار توسط زادیسلاو پاولاك [14] در سال 1982 مطرح شد. اساس این نظریه یک رابطه هم‌ارزی روی مجموعه مرجع می‌باشد كه توسط آن برای هر زیرمجموعه یک تقریب ناهموار پایینی و یک تقریب ناهموار بالایی معرفی می‌گردد. این نظریه و رابطه آن با ساختارهای جبری بعدها توسط دانشمندان بسیاری از جمله بونیكفسكی ([1])، بیسواس، ناندا ([1])، كوروكی، موردسون، لئورینو و … مورد مطالعه قرار گرفت.

دابویس و پرد ([6]) و ([7]) اولین كسانی بودند كه مفاهیم مجموعه‌های فازی ناهموار و ناهموار فازی را معرفی كردند. یک مجموعه فازی ناهموار زوجی از مجموعه‌های فازی است كه ناشی از تقریب زدن یک مجموعه فازی در یک فضای تقریب فازی و یک مجموعه ناهموار فازی زوجی از مجموعه‌های فازی است كه ناشی از اجرای نظریه فازی بر یک فضای تقریب معمولی است.

در ایرن نیز دكتر بیژن دواز ([3]) اولین كسی بود مطالعات خود را روی مجموعه‌های ناهموار آغاز كرد. ایشان مطالعات خود را در مورد ساختارهای جبری ناهموار و ساختارهای فازی ناهموار سوق  داد.

هدف این پایان‌نامه مطالعه مجموعه‌های فازی ناهموار و برخی از ساختارهای ناهموار جبری نظیر زیر گروه‌های فازی ناهموار و زیرحلقه فازی ناهموار و ایده‌آل فازی ناهموار است. همچنین در این پایان‌نامه نشان داده می‌شود كه طی چه شرایطی یک ساختار ناهموار جبری تحت یک همریختی پایا است. و همچنین عمده‌ترین كارها انجام گرفته روی مجموعه‌های فازی ناهموار را روی مجموعه‌های ناهموار فازی بررسی می‌كنیم.

این پایان‌نامه در چهار فصل تهیه گردیده است. در فصل 1 تعاریف و پیش‌نیازها، در فصل 2 مجموعه‌های T– فازی ناهموار برای t–  نرم دلخواه و در فصل 3 زیرگروه‌های T –  فازی ناهموار و تأثیر همریختی‌ها بر آن‌ ها را بیان كرده و در فصل 4 ابتدا ایده‌آل‌های T–  فازی اول (اولیه) ناهموار را بیان كرده و برخی از مطالب گفته شده را روی مجموعه‌های ناهموار فازی بیان می‌كنیم.

فهرست مندرجات

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                                                صفحه
1-1-  مقدمه …………………………………………………………………………………………………………. 2

فصل 1: تعاریف و پیش‌نیازها

1-2- مجموعه‌های ناهموار ……………………………………………………………………………………….. 3

1-3- نظریه مجموعه‌های فازی روی گروه‌ها و حلقه‌ها ……………………………………………………… 7

1-4- اشتراك‌های فازی (t– نرم‌ها) …………………………………………………………………………….. 10

فصل 2: مجموعه‌های T– فازی ناهموار

2-1- مقدمه ………………………………………………………………………………………………………….. 14

2-2- تقریب بالا و پایین از یک مجموعه‌ی فازی ……………………………………………………………. 15

2-3- تقریب بالا و پایین از یک مجموعه‌ی فازی نسبت به یک زیر گروه نرمایT– فازی……………. 20

فصل 3 : زیر گروه‌های T– فازی (نرمال) ناهموار

3-1- مقدمه ………………………………………………………………………………………………………….. 27

3-2- زیرگروه‌های T– فازی ناهموار بالایی و پایینی ……………………………………………………….. 28

3-3- تصویرهای همریختی گروهی از زیر گروه‌های T– فازی ناهموار …………………………………. 33

فصل 4: مجموعه های ناهموار در حلقه ها

4-1- مقدمه ………………………………………………………………………………………………………….. 37

4-2- روابط همنهشتی قوی و كامل و مجموعه‌های ناهموار ………………………………………………… 38

4-3- تقریب‌های مجموعه فازی …………………………………………………………………………………. 44

 

 

4-4- ایده‌آل‌های اول (اولیه) ناهموار در حلقه‌ی جابجایی ………………………………………………….. 47

4-5- ایده‌آل‌های فازی اول (اولیه) از یک حلقه‌ی جابجایی ……………………………………………….. 54

4-6- ایده‌آل‌های فازی اول ناهموار …………………………………………………………………………….. 56

4-7- ایده‌آل‌های ناهموار فازی…………………………………………………………………………………… 60

پیوست A ……………………………………………………………………………………………………………… 79

پیوست B ……………………………………………………………………………………………………………… 83

منابع ……………………………………………………………………………………………………………………. 87

1-1- مقدمه

در این فصل برخی مفاهیم و نتایج در مورد مجموعه‌های ناهموار و مجموعه‌های ناهموار (فازی) كه در سایر فصول مورد استفاده قرار می‌گیرد را ارائه می‌كنیم.

برای كسب اطلاعات جامع‌تر در مورد این مفاهیم به [2] و [3] و [6] و [1] و [15] مراجعه شود.

1-2- مجموعه‌های ناهموار

1-2-1- یادآوری

– به گردایه‌ای از اشیاء دوبدو متمایز مجموعه گوئیم.

– اگر A,B دو مجموعه باشند به  ضرب دكارتی A در B گوییم.

– هر زیر مجموعه‌ی   یک رابطه از  A به B نامیده می‌شود. اگر A=B باشد، به هر زیر مجموعه   یک رابطه روی A گفته می‌شود. اگر R رابطه‌ای روی  A باشد و  می‌نویسیم aRb.

– اگر R رابطه‌ای روی A باشد، وارون R به ‌صورت  و متمم R به ‌صورت  نمایش داده می‌شود.

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A بازتابی است یعنی:   

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A تقارنی است یعنی: 

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A ترایایی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A هم‌ارزی است یعنی، بازتابی، تقارنی و ترایایی است.

– اگر R رابطه‌ی هم‌ارزی روی مجموعه A باشد، به   كلاس هم‌ارزی a یا كلاس هم‌ارزی R تولید شده توسط a گوییم.

– فرض كنید U یک مجموعه‌ی مرجع ناتهی باشد. مجموعه‌ی توانی U را با P(U) نمایش می‌دهیم.

– برای هر ، متمم مجموعه‌ی X را با XC نشان می‌دهیم، كه به‌صورت UX تعریف می‌شود.

1-2-2- تعریف [1]

زوج  كه در آن  و  یک رابطه‌ی هم‌ارزی روی U است، یک فضای تقریب نامیده می‌شود.

1-2-3- تعریف [1]

فرض کنید  یک فضای تقریب دلخواه باشد، برای تعریف تقریب ناهموار، نگاشت  را تعریف می‌كنیم، با ضابطه‌‌ی:

 می باشد كه به‌ طوریكه  و  را تقریب ناهموار پایینی از X در  می‌نامیم و  را تقریب ناهموار بالایی از X در   می‌نامیم.

1-2-4- تعریف [1]

برای هر فضای تقریب ،  مجموعه‌ی ناهموار نامیده می‌شود اگر و تنها اگر برای بعضی از ، .

1-2-5- مثال

فرض كنید  یک فضای تقریب باشد، به‌طوریكه:

 و رابطه‌ی هم‌ارزی  با كلاس‌های هم‌ارزی زیر داده

شده باشد:

اگر  یک مجموعه باشد آنگاه  و و بنابراین  یک مجموعه‌ی ناهموار است.

1-2-6- مثال

فرض كنید یک فضای تقریب باشد به طوری كه  و رابطه‌ی هم‌ارزی  به صورت زیر باشد.

اگر I={0.1.2.3.4.6.10.11} باشد آنگاه و .

1-2-7- تعریف [1]

زیر مجموعه X از U تعریف‌پذیر نامیده می‌شود اگر  .

1-2-8- مثال

اگر  همان فضای تقریب مثال 1-2-6 باشد و  باشد آنگاه  و بنابراین  تعریف‌پذیر است.

1-2-9- توجه

اگر  با كلاس هم‌ارزی P و ، آنگاه

 1-  بدین معنی است كه x قطعاً در كلاس P قرار دارد.

2-  بدین معنی است كه x احتمالاً در كلاس P قرار دارد.

(3)  بدین معنی است كه x قطعاً در كلاس P قرار ندارد.

1-2-10- تعریف

زمانی كه ، گوییم A(C) یک زیر مجموعه‌ی ناهموار از A(B) است.

فرض كنید A© و A(B) دو مجموعه‌ی ناهموار باشند ، اگر و تنها اگر  و .

1-2-11- تعریف